Question

如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，，弦CD交AB于点E．

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；

（2）求证：BC²﹣CE²=CE•DE；

（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；

（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2-OE2，由知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2-CE2=r2-OE2，从而得证；

（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2-CE2=CE•DE计算可得．

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴，即DE•CE=AE•BE，

如图，连接OC，

设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，

则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，

∵，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，

则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，

∴BC2﹣CE2=DE•CE；

（3）∵OA=4，

∴OB=OC=OA=4，

∴BC==4，

又∵E是半径OA的中点，

∴AE=OE=2，

则CE===2，

∵BC2﹣CE2=DE•CE，

∴（4）2﹣（2）2=DE•2，

解得：DE=．