Question

如图1，已知二次函数y=ax²+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数y=ax²+x+c的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）

【解析】

试题（1）由A点坐标确定解析式中c值，再把C点坐标代入解析式求出a值，从而确定此解析式；（2）根据解析式求出B点坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB，在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC，然后利用勾股定理的逆定理验证△ABC是直角三角形；（3）满足△ANC为等腰三角形的N点有四个，在x轴负半轴有两点，满足AN=AC，AC=NC，在x轴正半轴存在两点，满足AN=CN，AC=NC，然后先求出AC长，利用等腰三角形两腰相等，和勾股定理易求出N点横坐标，因为N在x轴上，所以纵坐标是0，从而得到N点坐标．（4）先找到自变量，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，利用平行线分线段成比例定理和三角形相似把MD用n表示出来，这样△AMN的面积就用△ABN的面积减去△BMN的面积，从而建立S与n的二次函数，讨论n的取值及函数最大值，即可求出△AMN面积最大时，点N的坐标．

试题解析：（1）∵A（0，4），∴c=4，，把点C坐标（8，0）代入解析式，得：a=－，∴二次函数表达式为；（2）令y=0，则解得，x1=8，x2="-2" ，∴点B的坐标为（-2，0），由已知可得，在Rt△AOB中，AB­­­­2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC­­­­2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB­­­­2+ AC­­­­2=20+80=102=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）由勾股定理先求出AC，AC==，①在x轴负半轴，当AC=AN时，NO=CO=8，∴此时N（-8，0）；②在x轴负半轴，当AC=NC时，NC=AC=，∵CO=8，∴NO=-8，∴此时N（8-，0）；③在x轴正半轴，当AN=CN时，设CN=x，则AN=x，ON=8-x，在Rt△AON中，＋=，解得：x=5，∴ON=3，∴此时N（3，0）；④在x轴正半轴，当AC=NC时，AC=NC=，∴ON=＋8，∴此时N（＋8，0）；综上所述：满足条件的N点坐标是（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，，∵MN∥AC，∴，∴，∵OA=4，BC=10，BN=n+2，∴MD=（n+2），∵S△AMN= S△ABN- S△BMN=

=－+5，∵－<0，∴n=3时，S有最大值，∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．