Question

定义：如图，若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线（k＞0）的对径．

（1）求双曲线的对径；

（2）若某双曲线（k＞0）的对径是．求k的值．

Answer

(1) 双曲线的对径是2；（2）25

【解析】

过A点作AC⊥x轴于C．

（1）先解方程组，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=OC=，则AB=2OA=2，于是得到双曲线y=的对径；

（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10即AB=10，OA=5，根据OA=OC=AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）即可得到k的值．

过A点作AC⊥x轴于C，如图：

（1）解方程组，得，，

∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），

∴OC=AC=1，

∴OA=OC=，

∴AB=2OA=2，

∴双曲线的对径是2；

（2）∵双曲线的对径为10即AB=10，OA=5，

∴OA=OC=AC，

∴OC=AC=5，

∴点A坐标为（5，5），

把A（5，5）代入双曲线（k＞0）得k=5×5=25，

即k的值为25．