Question

某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．   

（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；   

（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．

Answer

（1）甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；（2）当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元

【解析】

（1）设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台，根据数量=总价÷单价可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

（2）设购进甲种品牌空调a台，所获得的利润为y元，则购进乙种品牌空调（10-a）台，根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y关于a的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

（1）由（1）设甲种品牌的进价为x元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x元，

由题意，得 ，

解得x=1500，

经检验，x=1500是原分式方程的解，

乙种品牌空调的进价为（1+20%）×1500=1800（元）.

答：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；

（2）设购进甲种品牌空调a台，则购进乙种品牌空调（10-a）台，

由题意，得1500a+1800（10-a）≤16000，

解得 ≤a，

设利润为w，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，

因为-700<0，

则w随a的增大而减少，

当a=7时，w最大，最大为12100元.

答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.