Question

如图，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．

（3）点F在抛物线的对称轴上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为4，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+2x+3；（2）2；（3）（1，2）或（1，-2）．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）把（1）的解析式配成顶点式得到D点坐标，然后两点间的距离公式计算BD的长；

（3）先利用对称性确定C点坐标，设F（1，m），根据三角形面积公式得到•（3+1）•|m|=4，然后解绝对值方程求出m即可得到点F的坐标．

（1）把A（0，3），B（-1，0）代入y=ax2+2x+c得，即得，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），

∴BD==2；

（3）存在．

∵抛物线的对称性为直线x=1，B（-1，0），

∴C（3，0），

设F（1，m），

∵△BFC的面积为4，

∴•（3+1）•|m|=4，

∴|m|=2，解得m=2或m=-2，

∴点F的坐标为（1，2）或（1，-2）．