Question

如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点，交 y 轴于点 A.

（1）根据图象请用“＞”、“＜”或“=”填空：a     0，b     0，c     0；

(2)如果 OC＝OA＝ OB，BC＝3，求这个二次函数的解析式;

(3) 在（2）中抛物线的对称轴上，存在点 Q 使得△OQA 的周长最短，试求出点 Q 的坐标.

Answer

（1）a＞0，b＞0，c＜0; （2）y=x2+x-1；（3）Q（-，）.

【解析】

（1）根据抛物线开口方向、对称轴方程以及抛物线与y轴交点的位置确定a，b，c的符号；

（2）首先由函数图象可确定A，B，C三点的坐标，然后分别代入二次函数y=ax2+bx+c中即可解得系数，进而即得解析式．

（3）设O关于对称轴的对称点为D，连接AD交对称轴于点Q，求出直线AD的解析式，把对称轴x=-即可求出Q的坐标.

【解析】
（1）如图，∵抛物线开口方向向上，

∴a＞0．

又∵对称轴x=-＜0，

∴a、b同号，即b＞0．

∵抛物线与y轴交与负半轴，

∴c＜0．

综上所述，a＞0，b＞0，c＜0．

（2）∵OC=OA=OB，BC=3，

∴点A的坐标为（0，-1），点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（1，0），

把A，B，C三点分别代入二次函数y=ax2+bx+c中可得：

，

解得，

∴该二次函数的解析式是：y=x2+x-1；

（3）如图，设O关于对称轴的对称点为D，连接AD交对称轴于点Q，

对于y=x2+x-1，其对称轴为：直线x=-，

∵O关于对称轴的对称点为D，

∴D(-1，0),

设直线AD的解析式为y=kx+b，把D（-1，0），A（0，-1）代入得

，解得，

∴y=-x-1，

当x=-时，y=，

∴Q（-，）.