Question

已知△ABC中，AB=AC，过边AB上一点N作AB的垂线交BC于点M．

（1）如图1，若∠A=40°，求∠NMB的度数．

（2）如图2，若∠A=70°，求∠NMB的度数．

（3）你可以再分别给出几个∠A（∠A为锐角）的度数，你发现规律了吗？写出当∠A为锐角时，你猜想出的规律，并进行证明．

（4）当∠A为直角、钝角时，是否还有（3）中的结论（直接写出答案）．

Answer

（1）20°；（2）35°；（3）∠NMB=∠A，理由见解析；（4）当∠A为直角、钝角时，（3）中的结论仍然成立．

【解析】

（1）利用等边对等角求出∠B,在直角△BNM中即可求解,

（2）利用等边对等角求出∠B,在直角△BNM中即可求解,

（3）总结前两问,找到规律即可解题,

（4）代入角度求值,验证结论即可.

（1）∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠B=∠C=×（180°-40°）=70°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=20°，

故答案为：20°；

（2）∵AB=AC，∠A=70°，

∴∠B=∠C=×（180°-70°）=55°，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=35°，

故答案为：35°；

（3）∠A=40°时，∠NMB=20°，∠NMB=∠A，

∠A=70°时，∠NMB=35°，∠NMB=∠A，

∴∠NMB=∠A，

理由如下：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=×（180°-∠A）=90°-∠A，

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-（90°-∠A）=∠A；

（4）当∠A=90°时，∠B=∠C=45°，

∴∠NMB=90°-45°=∠A，

当∠A=100°时，∠B=∠C=40°，

∴∠NMB=90°-50°=∠A，

则当∠A为直角、钝角时，（3）中的结论仍然成立．