Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AF⊥BD，垂足为点E，交BC于点F．求证：AD=CF．

Answer

见解析

【解析】

作辅助线,证明∠BAG=∠C=45°,再利用同角的余角相等得∠ABG=∠CAF,证明△ABG≌△CAF（ASA），得到AG=CF,最后证明△GAE≌△DAE（ASA），等量代换即可解题.

证明：过点A作∠BAC的平分线AG，交BD于点G，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°．

∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG=∠CAG=∠ABC=45°，

∴∠BAG=∠C．

∵AE⊥BD，

∴∠ABG+∠BAE=90°．

∵∠CAF+∠BAE=90°，

∴∠ABG=∠CAF．

在△ABG和△CAF中，，

∴△ABG≌△CAF（ASA），

∴AG=CF．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABG=∠CAF，

∴∠CAF=22.5°．

∵∠CAG=45°，

∴∠GAE=∠CAG-∠CAF=45-22.5°=22.5°，

∴∠GAE=∠CAF．

∵AE⊥BD，

∴∠AEG=∠AED=90°．

在△GAE和△DAE中，，

∴△GAE≌△DAE（ASA），

∴AG=AD．

∵AG=CF，

∴AD=CF．