Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C作CE⊥AD于点E，过点E作EH⊥AB于点H，交AC于点G，交⊙O于点F、M，连接BC．

（1）求证：EC是⊙O的切线；

（2）若AG=GC，试判断AG与GH的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，求FM的长．

Answer

（1）见解析；（2）AG=2GH，理由见解析；（3）2.

【解析】

（1）连接OC，求出OC∥AE，求出EC⊥OC，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△EGC是等边三角形，求出∠EGC=60°，求出∠OAC=30°，即可得出答案；
（3）连接OF，根据垂径定理求出FM=2FH，根据勾股定理求出AH，求出OH，根据勾股定理求出FH，即可得出答案．

（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AE，

∴CE⊥OC，

∵OC过O，

∴EC是⊙O的切线；

（2）【解析】
AG=2GH，

理由是：∵CE是⊙O切线，

∴∠OCE=90°，

∴∠OCA+∠ECA=90°，

∵EM⊥AB，

∴∠EHA=∠EHO=90°，

∴∠OAC+∠AGH=90°，

∵∠OAC=∠OCA，

∴∠AGH=∠ECA，

∵∠EGC=∠AGH，

∴∠EGC=∠ECG，

∴EC=EG，

∵∠AEC=90°，AG=GC=AC，

∴EG=AC，

∴EC=AC，

∴EG=EC=CG，

∴△EGC是等边三角形，

∴∠EGC=60°，

∴∠AGH=∠EGC=60°，

∴∠OAC=30°，

∵∠GHA=90°，

∴AG=2GH；

（3）【解析】
连接OF，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，AB=2OA=2×4=8，

∵∠OAC=30°，

∴BC=AB=4，

在Rt△ACB中，AC= ==4 ，

∵AG=AC，

∴AG=2，

∵AG=2GH，

∴GH=，

在Rt△AGH中，AH= = =3，

∴OH=OA﹣AH=4﹣3=1，

在Rt△FHO中，FH== = ，

由垂径定理得：PM=2FH=2．