Question

（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.

（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

Answer

（本题满分12分）

解: （1）由得…………1分

∴Ｄ（３，０）…………2分

（2）方法一:

如图1, 设平移后的抛物线的解析式为

…………3分

则COC=

令即

得 …………4分

∴A，B

∴………5分

……………………6分

∵

即:

得 (舍去) ……………7分

∴抛物线的解析式为……………8分

方法二:

∵∴顶点坐标

设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分

∴平移后的抛物线:……………………4分

当时,, 得

∴AB……………………5分

∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB

∴OA·OB……………………6分

得,…………7分

∴平移后的抛物线:…………8分

（3）方法一:

如图2,由抛物线的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,

则

∴

在Rt△COD中,CD==AD

∴点C在⊙D上 …………………10分

∵

……11分

∴

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直线CM与⊙D相切 …………12分

方法二:

如图3,由抛物线的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则,, 由勾股定理得

∵DM∥OC

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分

∴得…………11分

由(2)知∴⊙D的半径为5

∴直线CM与⊙D相切 …………12分

【解析】

（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可；

（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；

（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．