Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是________．

Answer

【解析】

如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；

如图，连接AC、BD交于点O′．

当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，

当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，

Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，

∴x2=（4-x）2+32，

解得x=，

∴OE=4-=，

∵O′B=O′D，AE=DE，

∴O′E=AB=2，

∴OO′=O′E-OE=，

∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′=．

故答案为:．