Question

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在⊙O上．

(1)求∠AED的度数；

(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？

(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

Answer

(1)∠AED＝120°；(2)π；(3)n＝12.

【解析】

（1）连接BD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；

（2）连接OA，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由弧长公式即可得出的长；

（3）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，即可得出结果．

(1)连接BD，如图1所示．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BAD＋∠C＝180°.

∵∠C＝120°，

∴∠BAD＝60°.

∵AB＝AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝60°.

∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED＋∠ABD＝180°，

∴∠AED＝120°.

(2)连接OA，OD，如图2．

∵∠AOD＝2∠ABD＝120°，

∴的长＝.

(3)如图所示．

∵∠ABD＝60°，

∴∠AOD＝2∠ABD＝120°，

∵∠DOE＝90°，

∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°，

∴n＝＝12.