Question

如图，已知直线y=-x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．

①求证：△PBC∽△MPA．

②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）C（-4，0）；（2）①证明见解析，②存在．使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-，0），P2（0，0）．

【解析】

（1）根据B点坐标求得直线解析式，再求得A点坐标，然后根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；
当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．

（1）【解析】
∵直线y=-x+b与y轴相交于点B（0，3），

∴b=3，

∴直线的解析式为y=-x+3，

令y=0，得到x=4，

∴A（4，0），

∵点C与点A关于y轴对称，

∴C（-4，0）；

（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，

∴∠PMA=∠BPC，

又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，

∴∠BCP=∠MAP，

∴△PBC∽△MPA；

②【解析】
存在．

由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）

当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，

∴=，即=，

∴PO=，即：P1（-，0）．

当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，

∴∠PAM+∠MPA=90°，

∵∠BPM=∠BAC，

∴∠BPM+∠APM=90°，

∴BP⊥AC．

∵过点B只有一条直线与AC垂直，

∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．

∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-，0），P2（0，0）．