Question

在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC=，过点C作CD∥AB，点E在边AC上，AE=CD，联结AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．

（1）求证：∠ABE=∠CAD．

（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．

（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．

Answer

（1）见解析；（2）y=（0＜x≤5-5）；（3）若△DFG是直角三角形，则△CEF的面积为15或．

【解析】

（1）由CD∥AB知∠BAC=∠ECD，结合AE=CD，AB=AC证△DAC≌△EBA即可得；

（2）作EH⊥AB，先表示出S△ABE=AB•EH=3x，再证∴△CEF∽△AEB，得=（）2，据此可得答案；

（3）由∠DFG=∠EBA＜∠ABC知∠DFG不可能为直角，从而分∠DGF=90°和∠GDF=90°两种情况分别求解．

（1）∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠ECD，

又∵AE=CD，AB=AC，

∴△DAC≌△EBA（SAS），

∴∠ABE=∠CAD；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，

由题意知CE=AC-AE=10-x，EH=AEsin∠CAB=x，

∴AH=x，

则S△ABE=AB•EH=×10×x=3x，

∵CF∥BA，

∴△CEF∽△AEB，

∴=（）2，即=，

∴y=（0＜x≤5-5）；

（3）∵∠DFG=∠EBA＜∠ABC，

∴∠DFG不可能为直角，

①当∠DGF=90°时，∠EGA=90°，

由∠GAE=∠GBA知△GAE∽△GBA，

∴tan∠GBA===，

在Rt△EHB中，tan∠GBA===，

∴=，

解得：x=0（舍）或x=5，

∴S△CEF==15；

②当∠GDF=90°时，∠BAG=90°，

由①知△GAE∽△GBA，

则∠AEB=∠GEA=90°，

∴BE=ABsin∠BAC=10×=6，AE==8，CE=AC-AE=2，

由△CEF∽△AEB知=，即=，

则EF=，

∴S△CEF=×EF×CE=×2×=；

综上所述，若△DFG是直角三角形，则△CEF的面积为15或．