Question

如图，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．本题可根据等腰三角形中两底角相等，将相等的角进行适当的转换，即可证得OD⊥DE；

（2）求DG就是求DF的长，在直角三角形DFO中，有OD的值，∠DOF的值也容易求得，那么DG的值就求得了．

试题解析：（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO．

∵BA=BC，

∴∠A=∠C，

∴∠ADO=∠C，

∴DO∥BC．

∵DE⊥BC，

∴DO⊥DE．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，

在Rt△DOF中，OD=4，

∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=2．

∵直径AB⊥弦DG，

∴DF=FG．

∴DG=2DF=4．