Question

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．

（1）求证：∠BED=∠C；

（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC=．

【解析】

（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；
（2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值．

（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，

∴AB⊥AC．

则∠1+∠2=90°，

又∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C；

（2）【解析】
连接BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD===6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA：BD=AC：DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=．