Question

已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．

（1）∠E的度数为.

（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；

（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

Answer

（1）60°（2）60°（3）60°

【解析】

（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，由圆周角定理可得∠DBC=30°，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数即可；（2）根据已知可得△DOC为等边三角形，根据圆周角定理可得∠DAC=30°，由圆内接四边形性质可得∠EBD=∠DAC=30°，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数即可；（3）根据已知可得△DOC为等边三角形，根据圆周角定理可知∠CAD=30°，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠AEC的度数即可；

（1）如图1，连结OD，OC，BD，

∵OD=OC=CD=2

∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°

∴∠DBC=30°

∴∠EBD=30°

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°

∴∠E=90°﹣30°=60°.

（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC，．

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠DAC=30°，

∵∠EBD是圆内接四边形ACBD的外角，

∴∠EBD=30°，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠E=90°﹣30°=60°，

（3）如图3，连结OD，OC，AC，

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠CAD=30°，

∵AB是直径，∠ACB是AB所对的圆周角，

∴∠ACB=90°，

∴∠AEC=90°-30°=60°．