Question

四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．

①连结OE,求△OBE的面积．

②求弧AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①4，②p．

【解析】

试题 （1）利用对角线互相平分可先判断四边形ABCD为平行四边形，再利用直径对的圆周角是90°可得到AC⊥BD，就可判断是菱形．（2）①连接OF，可得OF为△ABD边AB上的高，可求得△ABD的面积为16，△AEB面积为△ABD的面积的一半，即等于8，△OEB的面积为△AEB面积的一半，即等于4；④过点D作DH⊥AB于点H．可得四边形OFDH为矩形，在Rt△ADH中利用三角函数可求得∠DAH=30°，进而可求得∠AOE的度数，弧AE的长度可求．

试题解析：（1）∵AE="EC,BE=ED," ∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB为直径，且过点E，∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．而四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（2）①连结OF．∵CD的延长线与半圆相切于点F，∴OF⊥CF．∵FC∥AB,∴OF即为△ABD的AB边上的高．S△ABD=AB×OF=×8×4=16．∵点O，E分别是AB,BD的中点，∴S△ABE=S△ABD=8,所以，S△OBE=S△ABE=4．②过点D作DH⊥AB于点H．∵AB∥CD，OF⊥CF,

∴FO⊥AB,∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4．在Rt△DAH中，sin∠DAB＝＝,∴∠DAH=30°．∵点O,E分别为AB,BD中点，∴OE∥AD,∴∠EOB＝∠DAH=30°．∴∠AOE＝180°－∠EOB＝150°．∴弧AE的长=．