Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为3，点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在第一象限内直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G,AE⊥FG，下列结论：①△GCD和△FOD的面积比为3:1；②AE的最大长度为；③tan∠FEO= ；④当DA平分∠EAO时，CG= ；其中正确的结论有（    ）

A. ①②③    B. ②③    C. ②③④    D. ③④

Answer

C

【解析】

令x=0，得y=1，得OD=1，由OD=1得CD=2，易证△GCD∽△FOD，从而可得△GCD和△FOD的面积比为4:1，故①错误；由勾股定理和三角形三边关系可得AE的最大长度为，故②正确；由OD⊥OA，AE⊥DE得A、O、D、E四点共圆，由∠FEO+∠OEA=90°，∠ODA+∠OAD=90°，∠OEA=∠ODA得∠FEO=∠ODA故tan∠FEO=tan∠ODA=，故③正确；当DA平分∠OAE时，OE=OD=1，设OF=a,延长AE至点H，则OH=DF=，在Rt△HOA中，HO=1+，OA=3，HA=3+a，HO2+OA2=HA2 解得a=，故CG=2a=，所以④正确.

令x=0，得y=1，得OD=1，由OD=1得CD=2，易证△GCD∽△FOD，

∴S△GCD：S△FOD=4:1，故①错误；

在Rt△AOE中，AD＞AE，所以AE的最大值为AD的长，AD=，故②正确；

∵OD⊥OA，AE⊥DE

∴A、O、D、E四点共圆，

∵∠FEO+∠OEA=90°，∠ODA+∠OAD=90°，∠OEA=∠ODA（同弧所对的圆周角相等）

∴∠FEO=∠ODA

∴tan∠FEO=tan∠ODA=，故③正确；

当DA平分∠OAE时，OE=OD=1

设OF=a,延长AE至点H，则OH=DF=

在Rt△HOA中，HO=1+，OA=3，HA=3+a

HO2+OA2=HA2 解得a=

∴CG=2a=，故④正确.

故选C.