Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M.则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是__________.

Answer

①②③④.

【解析】

试题如解答图所示：

结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；

结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；

结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；

结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．

试题解析：（1）结论①正确．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=AC．

在△ACM与△ABF中，

，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

（2）结论②正确．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，

∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，

∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

（3）结论③正确．理由如下：

证法一：∵CE⊥AF，

∴∠ADC+∠AGC=180°，

∴A、D、C、G四点共圆，

∴∠7=∠2，

∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴NG=AG，

∴∠MNG=∠3，

∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG与△NCG中，

，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，

又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

（4）结论④正确．理由如下：

证法一：∵A、D、C、G四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，

∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．