Question

阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x²﹣7x+6=0，

∵△=49﹣48＞0，

∴x₁=_____，x₂=_______，

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

Answer

（1）2，；（2）不存在，理由见解析；（3）（m+n）2-8mn≥0，理由见解析.

【解析】

试题（1）直接利用求根公式计算即可；

（2）参照（1）中的解法解题即可；

（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．

试题解析：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，

∴x1=2，x2=.

（2）不存在，理由如下：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，

消去y化简，得2x2-3x+2=0.

∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B.

（3）（m+n）2-8mn≥0，理由如下

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，

消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.

△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．