Question

如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm．

（1）求圆心O到弦AB的距离；

（2）弦AC、BD所夹的锐角α的度数是多少？

Answer

(1)OE=；(2)∠α=75°．

【解析】

（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA、OB，根据垂径定理得AE＝BEAB，由OA＝OB＝1，AB，根据勾股定理的逆定理得△OAB为等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得OEAB；

（2）连结OC、OD，先判断△OCD为等边三角形，得到∠COD＝60°，根据圆周角定理得∠CAD∠COD＝30°，由△OAB为等腰直角三角形得∠AOB＝90°，根据圆周角定理得∠ADB∠AOB＝45°，然后利用三角形外角性质计算∠α的度数．

（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA、OB，如图，∴AE＝BEAB．

∵OA＝OB＝1，AB，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OEAB；

（2）连结OC、OD，如图，∵OC＝OD＝1，CD＝1，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD∠COD＝30°．

∵△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴∠ADB∠AOB＝45°，∴∠α＝∠CAD+∠ADB＝30°+45°＝75°．