Question

已知AB是⊙O的弦，点P是优弧AB上的一个动点，连接AP，过点A作AP的垂线，交PB的延长线于点C．

(1)如图1，AC与⊙O相交于点D，过点D作⊙O的切线，交PC于点E，若DE∥AB，求证：PA=PB；

(2)如图2，已知⊙O的半径为2，AB=2．

①当点P在优弧AB上运动时，∠C的度数为　   　°；

②当点P在优弧AB上运动时，△ABP的面积随之变化，求△ABP面积的最大值；

③当点P在优弧AB上运动时，△ABC的面积随之变化，△ABC的面积的最大值为　   　．

Answer

(1)证明见解析；(2)①30；②3；③6+3．

【解析】

（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得PD是直径，结合DE是切线，DE∥AB，可得AB⊥PD，利用垂径定理可证．

（2）①只要求出∠AOB的度数，便可知∠APC的度数，利用∠C和∠APC互余的关系可得∠C度数；②分析后可以发现：PD⊥AB时面积最大；③利用∠C的数值不变可知点C在AB为弦的同一个圆上运动，进而找到C点在何处可使得△ABC面积最大，从而求值．

（1）如图1，连接DP交AB于点F．

∵CA⊥AP，∴DP是⊙O的直径．

∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥DP．

又∵DE∥AB，∴AB⊥DP，∴DP垂直平分AB（垂径定理），∴PA＝PB；

（2）①连接OA、OB，由（1）知，DP垂直平分AB．

∵AB＝2，∴AF＝BF．

∵⊙O的半径是2，∴OA＝OB＝2，∴sin∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB∠AOB＝60°．

∵CA⊥AP，∴∠C+∠APB＝90°，∴∠C＝30°；

②当点P在优弧AB上运动时，△ABP的面积由点P到AB的距离决定．

根据图形的性质可知：如图2，当点P运动到PD⊥AB时，PF即是最大距离．

∵OA＝2，PD⊥AB，∠AOF＝60°，∴OF＝1，∴PF＝OF+OP＝1+2＝3，∴△ABP的面积最大值是：AB•PF3＝3；

③由①知在变化过程中∠ACB＝30°恒成立，∴点C在以AB为弦的某个圆上运动，设这个圆的圆心为H，如图3所示．

连接AH、BH，∴∠AHB＝2∠ACB＝60°．

∵AH＝BH，∴△ABH是等边三角形．

∵AB＝2，∴⊙H的半径HA＝2，作CG⊥AB，显然，当C点运动到CG经过圆心H时△ABC面积最大．

此时，CG＝CH+HG，CH＝2．

∵HG⊥AB，AB＝2，∴HG＝AH•sin60°＝3，∴CG＝23，∴△ABC面积最大值是：

AB•CG（23）＝6+3．