Question

如图①，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，圆心P在x轴的正半轴上，已知AB=10，AP=

（1）求点P到直线AB的距离；

（2）求直线y=kx+b的解析式；

（3）在图②中存在点Q，使得∠BQO=90°，连接AQ，请求出AQ的最小值．

Answer

（1）（2）y=﹣x+6（3）

【解析】

（1）先根据垂径定理求出得出AD=5，最后用勾股定理即可得出结论；（2）设出OP=x，利用勾股定理即可得出OP的值，最后用待定系数法即可得出结论；（3）先确定出AQ取得最小值时的条件，最后用勾股定理即可得出结论．

（1）如图①，过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理得AD=DB=AB=5

在Rt△APD中，由AD=5，AP=，

根据勾股定理得，得PD2+AD2=AP2

则PD=，

∴点P到直线AB的距离为；

（2）连接BP，设OP=x

∵OB2=BP2﹣OP2，OB2=AB2﹣OA2

∴OB2=（）2﹣x2，OB2=102﹣（+x）2

∴（）2﹣x2=102﹣（+x）2

解得：x=，

∴OA=8，OB=6，

∴A（8，0），B（0，6），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；

（3）【解析】
如图②，∵∠OQB=90°，

∴点Q是以OB为直径的圆上，

以OB为直径作圆E，连接EQ，AE，

∴EQ+AQ≥AE

当点A，Q，E三点在一直线上时，AQ有最小值，

在Rt△AOE中，AE=，

∴AQ的最小值为AE﹣OE=﹣3．