Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（3，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直线BC和AB的解析式；

（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x+3x，y=-x+3（2）点F（0，0）或（﹣3，0）（3）点M（﹣9﹣3，9），点N（﹣3，9+3）；点F（，），点E坐标为（，）

【解析】

（1）根据题意可求点B，点C的坐标，用待定系数法可求解析式；（2）由题意可证DE是三角形的中位线，可求点D，点E的坐标，根据勾股定理可列方程，即可求点F的坐标；（3）分BC为边，BC为对角线讨论，根据正方形的性质，可求点的坐标．

（1）∵点A的坐标为（3，0）

∴AO=3

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°

∴BO=AO=3，AB=2OA=6，∠OAB=60°，

又∵AB⊥BC

∴∠ACB=30°

∴AC=2AB=12

∴OC=AC﹣OA=12﹣3=9

∵OC=9，OB=3

∴点B（0，3），点C（﹣9，0）

设直线BC解析式y=kx+b

，

解得：k=，b=3

∴直线BC解析式y=x+3

设直线AB解析式y=mx+n

，

解得：m=﹣，n=3

∴直线AB解析式y=﹣x+3

（2）

∵折叠，点O与点B重合

∴DE是BO的垂直平分线

∴EO=BE，BD=OD

∴∠EBO=∠EOB，∠DBO=∠DOB

∵BO⊥CO

∴∠EBO+∠ECO=90°，∠EOB+∠EOC=90°

∴∠EOC=∠ECO

∴CE=EO

∴CE=BE

同理BD=DA

∴DE=AC=6

∵点A（3，0），点B（0，3），点C（﹣9，0）

∴点E（﹣，），点D（，）

设点F（x，0）

∵△EFD是直角三角形，DE是斜边

∴DE2=EF2+DF2．

∴36=（x+）2++（x﹣）2+

解得：x1=0，x2=﹣3

∴点F（0，0）或（﹣3，0）

（3）若BC为边，在BC上方和下方作正方形，如图：四边形BCFE是正方形，四边形BCMN是正方形

过点F作FH⊥AC于点H，过点E作EG⊥BO于点G

∵四边形BCFE是正方形

∴BC=CF，∠BCF=90°

∴∠BCO+∠FCH=90°，且∠FCH+∠CFH=90°

∴∠BCO=∠CFH且∠BOC=∠CHF=90°，BC=CF

∴△BCO≌△CFO（AAS）

∴CH=OB=3，HF=CO=9

∴OH=9﹣3

∴点F（﹣9+3，﹣9）

同理可得△BEG≌△CBO

∴BG=CO=9，GE=BO=3

∴OG=9﹣3

∴点E（3，﹣9+3）

同理可得：点M（﹣9﹣3，9），点N（﹣3，9+3）

若BC为对角线，如图：四边形BECF是正方形

过点F作FM⊥CO于点M，作FN⊥BO于点 N

∵FM⊥CO，FN⊥BO，BO⊥CO

∴四边形OMFN是矩形

∴OM=FN，ON=FM

∵四边形BECF是正方形

∴CF=BF，∠CFB=90°

∵∠CFB=∠COB=90°

∴点C，点B，点O，点F四点共圆

∴∠FCO=∠OBF，且CF=BF，∠FMC=∠FNB=90°

∴△FMC≌△FNB（AAS）

∴FM=FN，CM=BN

∴边形FNOM是正方形

∴OM=ON=FM=FN

∵CM+OM=9，BN﹣ON=3

∴OM=ON=，CM=BN=

∴点F（，）

同理可求点E坐标为（，）