Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（）

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

Answer

B

【解析】

试题解析：如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，

∴CF=2AF，故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有 ，即b=，

∴tan∠CAD=．故④不正确；

故选B．