Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=  ，有以下的结论：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）

Answer

①③

【解析】

①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADC=180°﹣α﹣∠BDE，

∵∠BED=180°﹣α﹣∠BDE，∴∠BED=∠ADC∴△DBE∽△ACD，故①正确；

②∵∠B=∠C，∴∠C=∠ADE，不能得到△ADE∽△ACD；故②错误，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，∴∠ADB=∠AED，

∵∠AED=90°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=0.8，AB=10，BD=8．

当∠BDE=90°时，易△BDE∽△CAD，∵∠BDE=90°，∴∠CAD=90°，

∵∠B=α且cosα=0.8．AB=10，∴cosC=0.8，∴CD=12.5，∴BD=BC﹣CD=3.5；故③正确．

④过A作AG⊥BC于G，∵cosα=0.8，∴BG=8，∴BC=16，易证得△BDE∽△CAD，

设BD=y，BE=x，∴，∴∴，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，

即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4．故④错误．故答案为：①③．