Question

把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE=5cm, CD=10cm．

(1)图1中线段AO的长=          cm；DO=         cm

(2)如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C与AB相交于点F,若△BCE₁恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．

Answer

（1）AO=cm；DO=cm； （2）.

【解析】

试题（1）作,利用三角形相似来求出线段AO ,DO的长；

（2）连接BE1,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,根据三角形相似求出BF,即可得到答案.

试题解析：(1)如图,过点A作,

∵∠ACB与∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=,

∴AC=BC=6,

∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10．

∴ED=, BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,

∵

∴△AFC∽△DEC

∴,即AF=,

∴,即EF=2,

∴BF=EF+BE=2+1=3,

∵

∴△BOE∽△BAF

∴,即AO=

,即OE=

∴DO=DE-OE=

(2) 连接BE1,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,

∵△DCE绕着点C 逆时针旋转α度

∴∠E1CG=α,

∵△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,

∴E1G是线段BC的中垂线

∵E1C=5,BC=6

∴CG=BH=3,,

∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,

∴BH=FH,令BH=FH=x,

则：CH=6-x

在△FHC与△CG E1中

∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,

∴∠E1CG =∠CFH,

∵∠FHC=∠CG E1=90°,

∴△FHC∽△CG E1,

∴,即：,解得,

∴FH=,

∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,

∴

∴.