Question

如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．

（1）求证：BD=DE+CE

（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明．

（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD=DE+CE；（3）BD=DE+CE．

【解析】

试题本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

（1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．

（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．

（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．

试题解析：（1）在△ABD和△CAE中，

∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD．

又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．（AAS），

∴BD=AE，AD=CE．又AE=AD+DE，∴AE=DE+CE，即BD=DE+CE．

（2）BD=DE﹣CE．

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA．∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，即 BD=DE﹣CE

（3）同理：BD=DE﹣CE．