Question

如图，己知函数y=x + 4的图象与坐标轴的交点分别为点A、B，点C与点B关于x轴对称，动点P、Q分别在线段BC、AB上（点P不与点B、C重合）．且∠APQ=∠ABO

（1）点A的坐标为                 ，AC的长为                 ；

（2）判断∠BPQ与∠CAP的大小关系，并说明理由；

（3）当△APQ为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer

（1）（3，0），5；（2）见解析；（3）P点坐标为（0，﹣1），（0，）．

【解析】

试题（1）利用坐标轴上点的坐标特征可求出A、B点的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用勾股定理可计算出AC的长；

（2）利用对称性质得到AB=AC，则∠1=∠2，而∠APQ=∠1，所以∠2=∠APQ，再根据三角形外角性质得∠BPA=∠2+∠3，易得∠BPQ=∠3；

（3）分类讨论：当PA=PQ，如图1，根据等腰三角形的性质得∠PQA=∠PAQ，利用三角形外角性质和等量代换可得∠PQA=∠BPA，则BP=BA=5，所以OP=BP﹣OB=1，于是得到此时P点坐标为（0，﹣1）；当AQ=AP，由于∠AQP=∠APQ，∠AQP=∠BPA，两者相矛盾，此情况不存在；当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，由于∠1=∠APQ，则∠1=∠PAQ，所以PA=PB，设P（0，t），则PB=PA=4﹣t，在Rt△OPA中利用勾股定理得到t2+32=（4﹣t）2，解得t=，从而可得到此时P点坐标为（0，）．

【解析】
（1）当y=0时，﹣x+4=0，解得x=3，则A（3，0），

当x=0时，y=﹣x+4=4，则B（0，4），

∵点C与点B关于x轴对称，

∴C（0，﹣4），

∴AC==5；

故答案为（3，0），5；

（2）∠BPQ=∠CAP．理由如下：

∵点C与点B关于x轴对称，

∴AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵∠APQ=∠1，

∴∠2=∠APQ，

∵∠BPA=∠2+∠3，

即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，

∴∠BPQ=∠3；

（3）当PA=PQ，如图1，则∠PQA=∠PAQ，

∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，

∴BP=BA=5，

∴OP=BP﹣OB=1，

∴P（0，﹣1）；

当AQ=AP，则∠AQP=∠APQ，

而∠AQP=∠BPA，所以此情况不存在；

当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，

而∠1=∠APQ，

∴∠1=∠PAQ，

∴PA=PB，

设P（0，t），则PB=4﹣t，

∴PA=4﹣t，

在Rt△OPA中，∵OP2+OA2=PA2，

∴t2+32=（4﹣t）2，解得t=，

∴P（0，），

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，﹣1），（0，）．