Question

如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE²；④S_△ABC=2S_△ADF．其中正确结论的序号是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②③

【解析】仔细审题，首先根据直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，再证明△ABE是等腰直角三角形，进而可得FE=AB，据此不难判断①是否正确；

根据已有信息易得∠ABC=∠C，进而可得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，再结合全等三角形的性质判断②是否正确；

对于③，可通过证明△ABD～△BCE，得出BC：AB=BE：AD，即BC·AD=AB·BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出结论；

对于④，由F是AB的中点，BD=CD进行判断即可.

∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD=AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵点F是AB的中点，

∴FE=AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中，

∵∠AEH=∠CEB,

AE=BE,

∠EAH=∠CBE，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD～△BCE，

∴，即BC·AD=AB·BE，

∵AE2=AB·AE=AB·BE，BC·AD=AC·BE=AB·BE，

∴BC·AD=AE2；③正确；

∵F是AB的中点，BD=CD，∴

S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④错误；

故答案为：①②③．