Question

如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．

求证：K是线段MN的中点．

 

Answer

证明见解析.

【解析】

取AC的中点Q，连接QF、QE，过C点作CR∥QF交MP于点R，连接NR．由QF∥AD，QE∥NC可证得=．由CR∥AD可知==1，则==，从而可证得FK∥RN，最后可得KM=KN．

取AC的中点Q，连接QF、QE，过C点作CR∥QF交MP于点R，连接NR，

∵Q、F、E分别是AC、CD、AB的中点，

∴QF∥AD，QE∥NC，

∴=，=，

∵AQ=CQ，

∴=,

∵QF∥AD，CR∥QF，

∴CR∥AD，

∴==1，

∴FM=FR，

∴==，

∴EF∥RN．

∵FK∥RN，FM=FR，

∴KM=KN，即K是线段MN的中点．