Question

如图，己知A（0，8），B（6，0），点M、N分别是线段AB、AO上的动点，点M从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N从点A出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点M、N中有一个点停止时，另一个点也停止。设运动时间为t秒。

（1）当t为何值时，M为AB的中点；

（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；

（3）当t为何值时，△AMN是等腰三角形？并求此时点M的坐标.

Answer

（1）当t=秒时，M是AB的中点；（2）当或时，△AMN为直角三角形；

（3）当，， 时，△AMN为等腰三角形，此时，M点的坐标分别是，，.

【解析】

（1）由勾股定理求出AB的长，再由中点的定义即可得出结论；

（2）运动t秒时，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．然后分两种情况讨论：①当MN⊥AO时，△ANM∽△AOB；②当MN⊥AB时，△ANM∽△ABO；

（3）先求出M的坐标，然后分三种情况讨论：①AM=AN；②MA=MN；③NA=NM．

（1）∵A（0，8），B（6，0），∴OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵M为AB的中点，∴MB=2t=5，∴t=．

答：当t=秒时，M是AB的中点．

（2）运动t秒时，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．

①当MN⊥AO时，△ANM∽△AOB，∴，∴，∴t=．

②当MN⊥AB时，△ANM∽△ABO，∴，∴，∴t=．

综上：当 t=或 t=时，△AMN为直角三角形．

（3）如图，过M作MC⊥OB于C，MD⊥OA于D．

∵AO⊥OB，∴∠MCB=∠AOB．

∵∠MBC=∠ABO，∴△MBC∽△ABO，∴，∴，∴MC=，CB=，∴OC=，∴M（，）．分三种情况讨论：

①当AM=AN时，t=10−2t，解得：，∴M（2，）；

②当MA=MN时，过M作MF⊥AO，交AO于F，如图：

则F是AN的中点，AF=，这时，△AFM∽△AOB，∴，∴ ，解得 ，∴M（，）；

③当NA=NM时，过N作NG⊥AB，交AB于G，如图，则G是AM的中点，AG=5−t．

这时，△AGN∽△AOB，∴，∴，解得：，∴M（，）．

综上，当 或或时，△AMN为等腰三角形，此时，M点的坐标分别是．