Question

如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14.

(1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；

(2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度：

①当P在AB之间(含A或B)；

②当P在A左边；

③当P在B右边；

你发现了什么规律？

(3)如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．

图1

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图2

,

Answer

（1）7.（2）①点P在AB之间，MN＝(x＋y)；②点P在A左边，MN＝(y－x)；③点P在BA的延长线上，MN＝(x－y)；（3）选择②①＝ (在变化)；②＝2

【解析】

（1）由AP＝8且点M是AP的中点易得MP＝AP＝4，BP=AB－AP＝6，再由点N是PB的中点可知PN＝PB＝3，则MN＝MP＋PN＝7；

（2）根据线段中点的性质，可得MP和NP的表达式，再根据线段的和差关系分别计算三种情况下MN的长度即可；

（3）根据线段的和差，分别可得PA-PB=AB，PA+PB=PC+AC+PC-BC=2PC，再根据分式的性质即可判断.

【解析】
(1)∵AP＝8，点M是AP的中点，

∴MP＝AP＝4，

∴BP＝AB－AP＝6.

又∵点N是PB的中点，

∴PN＝PB＝3，

∴MN＝MP＋PN＝7.

(2)①点P在AB之间，MN＝MP＋PN==(x＋y)；

②点P在A左边，MN＝PN-MP=-=(y－x)；

③点P在BA的延长线上，MN=MP-PN=-==(x－y)．

(3)选择②.

①，由于PC长度不固定，故 的值是变化的；

②，是定值，

故正确的结论是②，其值为2.