Question

如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．

（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）当△ADC满足怎样的条件时，四边形EGDO恰为正方形？（直接写出结果即可）

Answer

（1）见解析；（2）当△ADC满足∠A=45°时，四边形EGDO恰为正方形．

【解析】

（1）连接OE、DE，如图，利用圆周角定理得到∠CED=90°，再根据斜边上的中线性质得GE=GA=GD，则∠GED=∠GDE，加上∠OED=∠ODE，所以∠GEO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）当∠DOE=90°时易得四边形EGDO正方形，此时△OCE为等腰直角三角形，于是可判断当△ADC满足∠A=45°时，四边形EGDO恰为正方形．

（1）证明：连接OE、DE，如图，

∵CD为直径，

∴∠CED=90°，

∵G点AD的中点，

∴GE=GA=GD，

∴∠GED=∠GDE，

而OD=OE，

∴∠OED=∠ODE，

∴∠GEO=∠GDC，

而CD为高，

∴∠GDC=90°，

∴∠GEO=90°，

∴OE⊥GE，

∴GE是⊙O的切线；

（2）当∠DOE=90°时，四边形EGDO为矩形，而OE=OD，则四边形EGDO正方形，

此时△OCE为等腰直角三角形，

所以当△ADC满足∠A=45°时，四边形EGDO恰为正方形．