Question

（2016吉林省）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm²）

（1）当点M落在AB上时，x=      ；

（2）当点M落在AD上时，x=    ；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）4；（2）；（3）．

【解析】试题（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．

（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得=，由此即可解决问题．

（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．

试题解析：【解析】
（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=，所以x==4．故答案为：4．

（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC，∴DQ=QE=EC，∵PE∥AD，∴=，∵AC=，∴PA=，∴x=÷=．故答案为：．

（3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，

∵AP=x，∴EF=PE=x，∴y=S△PEF=•PE•EF=．

②当4＜x≤时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．

∵PQ=PC=，∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，∴y=S△PMQ﹣S△MEG==．

③当＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，∴y=S△PMQ===．

综上所述．