Question

在坐标系xOy中，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标；

（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围．

Answer

（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）D（﹣，）；（3）当2＜t≤4时，直线MN与函数图象G有公共点．

【解析】

试题（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），然后将a=﹣1代入即可求得抛物线的解析式；

（2）过点D作DE∥y轴，交AC于点E．先求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线AC的解析式，设点D的坐标为，则E点的坐标为（x，x+3），于是得到DE的长（用含x的式子表示，接下来，可得到△ADC的面积与x的函数关系式，最后依据配方法可求得三角形的面积最大时，点D的坐标；

（3）如图2所示：先求得抛物线的顶点坐标，于是可得到点M的坐标，可判断出点M在直线AC上，从而可求得点N的坐标，当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（﹣1，4），于是可确定出t的取值范围．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）．

由题意可知：a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣1（x+3）（x﹣1），即；

（2）如图所示：过点D作DE∥y轴，交AC于点E．

∵当x=0时，y=3，

∴C（0，3）．

设直线AC的解析式为y=kx+3．

∵将A（﹣3，0）代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，

∴直线AC的解析式为y=x+3．

设点D的坐标为（x，），则E点的坐标为（x，x+3）．

∴DE=﹣（x+3）=．

∴△ADC的面积=DE•OA=×3×（）=．

∴当x=时，△ADC的面积有最大值．

∴D．

（3）如图2所示：

∵y==，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．

∵点M与抛物线的顶点关于y轴对称，

∴M（1，4）．

∵将x=1代入直线AC的解析式得y=4，

∴点M在直线AC上．

∵将x=﹣1代入直线AC的解析式得：y=2，

∴N（﹣1，2）．

又∵当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（﹣1，4）．

∴当2＜t≤4时，直线MN与函数图象G有公共点．