Question

在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；

（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为______；此时，∠POQ的度数为______．

Answer

（1）；（2），60°

【解析】

连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=

【解析】
（1）【解析】
（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ= =；

（2）连结OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP=OB=，

∴PQ长的最大值为 = ,

在Rt△QPO中，tan∠POQ= ==

则∠POQ=60°，

故答案为：，60°．