Question

已知关于x的一元二次方程-x²+（3-k）x+k-1=0，其中k为常数．

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若函数y=-x²+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，求k的取值范围．

Answer

（1）无论k为何值，方程总有两个不相等实数根（2）k≤1

【解析】

（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据题意可知抛物线开口向下，且图象不经过第二象限，由（1）可知函数与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得到关于k的不等式，然后求解不等式即可.

（1）证明：∵△=（3-k）2-4×（-1）（k-1）=k2-2k+5=（k-1）2+4＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）【解析】
∵二次项系数a=-1，

∴抛物线开口方向向下，

∵△=（k-1）2+4＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

∵二次函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，

∴x1+x2=3-k＞0，x1•x2=-（k-1）≥0，

解得k≤1，

即k的取值范围是k≤1．