Question

两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

Answer

（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．

【解析】

试题（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．

试题解析：

（1）【解析】
∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，

∴BE=AD，

∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案为：相等，垂直．

（2）答：成立，

证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴（1）中的猜想还成立．

（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．

连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，

同（1）可证

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，

∴∠DXB+∠EBC=90°，

∴∠EZA=180°﹣90°=90°，

即AD⊥BE，

∵FH∥AD，FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

结论是FH=FG，FH⊥FG.