Question

如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC=2：1，求∠AOC的度数；

（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线，此时∠AOM与∠NOC满足怎样的数量关系？并说明理由．

Answer

（1）120°；（2）∠AOM=2∠NOC，理由见解析

【解析】

（1）根据角的倍分关系，以及角的和差关系即可求解；

（2）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC=90°-β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．

（1）∵∠NOC：∠MOC=2：1，

∴∠MOC=90°×=30°，

∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°+30°=120°．

（2）∠AOM=2∠NOC，

令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC=90°﹣β，

∵∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°，

∴γ+90°﹣β+90°﹣β=180°，

∴γ﹣2β=0，即γ=2β，

∴∠AOM=2∠NOC．