Question

已知:r如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.对角线AC、BD相交于点E。且AC⊥BD。（1）求证：CD²=BC·AD；（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：。

Answer

见解答过程.

【解析】

试题（1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；

（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出AG:AD=AB:BD，再利用△ABG∽△DBA，得出BG:AB="AB:BD" ，则AB2=BG•BD，进而得出答案．

试题解析：证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠BCD=90°，

又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBD，

∴△ACD∽△DBC，

∴AD CD ="CD" BC ，

即CD2=BC×AD；

（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，

∴S△ABG:S△DBA =（）2=AG2:AD2，

而S△ABG:S△DBA="BG:BD" ，∴AG2:AD2 ="BG:BD" ．