Question

如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．

（1）求证：AB＝CD；

（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AE=7．

【解析】

（1）欲证明AB=CD，只需证得.

（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．

（1）证明：如图，∵AD=BC，

∴= ，

∴﹣ =﹣，即=，

∴AB=CD；

（2）如图，过 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥BC 于点 G，连接 OA、OC．

则 AF=FD，BG=CG．

∵AD=BC，

∴AF=CG．

在 Rt△AOF 与 Rt△COG 中，，

∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），

∴OF=OG，

∴四边形 OFEG 是正方形，

∴OF=EF．

设 OF=EF=x，则 AF=FD=x+1，

在直角△OAF 中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5．

则 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7．