Question

（问题背景）解方程：x⁴﹣5x²+4=0．

这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．

【解析】
设 x²=y，那么 x⁴=y²，于是原方程可变为 y²﹣5y+4=0，解得 y₁=1，y₂=4． 当 y₁=1 时，x²=1，x=±1；当 y2=4 时，x²=4，x=±2；

原方程有四个根：x₁=1，x₂=﹣1，x₃=2，x₄=﹣2．

（触类旁通）参照例题解方程：（x²+x）²﹣4（x²+x）﹣12=0；

（解决问题）已知实数 x，y 满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，求 x+y 的值；

（拓展迁移）分解因式：（x²+4x+3）（x²+4x+5）+1．

Answer

[触类旁通]：x1=﹣3，x2=2；[解决问题]：x+y=±3；[拓展迁移]（x+2）4．

【解析】

设y=x2+x，将原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解方程求得y即x2+x的值，然后再来解关于x的一元二次方程．

设 2x+2y= a，则根据平方差公式将原方程化为：（a+3）（a﹣3）=27，再将a值进行求解除以2即可.

设 x2+4x+3=a，则根据平方差公式将原方程化为：，再将a值代入即可求解.

[触类旁通]：

（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0，

设 x2+x=y，则原方程化为：y2﹣4y﹣12=0， 解得：y1=6，y2=﹣2，

当 y=6 时，x2+x=6，解得：x=﹣3 或 2； 当 y=﹣2 时，x2+x=﹣2，

x2+x+2=0，

∵此方程中的△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，

∴此方程无解；

所以原方程的解为：x1=﹣3，x2=2；

[解决问题]：

（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，

设 2x+2y=a，则原方程化为：（a+3）（a﹣3）=27，整理得：a2=36，

解得：a=±6， 即 2x+2y=±6， 所以 x+y=±3；

[拓展迁移]： 设 x2+4x+3=a，

则（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1

=a（a+2）+1

=a2+2a+1

=（a+1）2

=（x2+4x+3+1）2

=（x2+4x+4）2

=（x+2）4．