Question

如图，抛物线y=ax²+bx(a≠0) 交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．

（1）求a，b的值；

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m ，△OBP的面积为S，．求K关于m 的函数表达式及K的范围．

Answer

（1）a=-1；b=4；（2）K=-m+4，0＜K＜2

【解析】

分析: （1）将x=2代入直线y=2x得出对应的函数值，从而得出M点的坐标，将M点的坐标代入抛物线 y = a x 2 + b x ，再根据抛物线的对称轴为直线 x = 2，得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值;

（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，根据P点的横坐标及点P在抛物线上从而得出PH的值，根据B点的坐标得出OB的长，从而根据三角形的面积公式得出S=-m2+4m，再根据,得出k=-m+4，由题意得A（4，0），M（2，4），根据P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，从而得出2＜m＜4，根据一次函数的性质知K随着m的增大而减小，从而得出答案0＜K＜2.

详解:

（1）解 ;将x=2代入y=2x得y=4  

∴M（2，4）

由题意得 ，

∴ .

（2）解 ：如图，过点P作PH⊥x轴于点H

∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y=-x2+4x

∴PH=-m2+4m

∵B（2，0），

∴OB=2

∴S= OB·PH=×2×（-m2+4m）=-m2+4m

∴K==-m+4

由题意得A（4，0）

∵M（2，4）

∴2＜m＜4

∵K随着m的增大而减小，所以0＜K＜2