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阅读材料. 我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等...

阅读材料.

我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?

在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…;第nn个圆圈中数的和为n+n+n+…+n,即n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2

(规律探究)

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为     ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=     ,因此,12+22+32+…+n2=     

(解决问题)

根据以上发现,计算:的结果为     

 

2n+1,,;7. 【解析】 根据图1和图2,归纳总结得到一般性规律,利用此规律确定出所求即可. 【解析】 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均2n+1;由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=;因此,12+22+32+…+n2=; 【解决问题】 根据以上发现,计算::的结果为7. 故答案为:2n+1;;.
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