Question

如图，在反比例函数y=﹣的图象上有一点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动，若tan∠CAB=3，则k=_____．

Answer

18

【解析】

作出辅助线利用三线合一性质得到∠EAO=∠COD,证明△AEO∽△ODC, 在Rt△AOC中, 设C（m,n）,进而表示出点A,根据tan∠CAB=3，即可求解.

如图所示,连接CO,作AE⊥x轴交于点E,作CD⊥x轴交于点D.

∵AE⊥x轴,

∴∠AEO=90°,∠EAO+∠AOE=90°,

∵AC=BC,

∴△ABC为等腰三角形,根据等腰三角形三线合一可得,CO⊥AB,

∴∠BOC=90°,∠COD+∠BOD=90°,

∵∠AOE=∠BOD

∴∠EAO=∠COD.

在△AEO和△ODC中,∠EAO=∠DOC,∠AEO=∠ODC,

∴△AEO∽△ODC,在Rt△AOC中,tan∠CAB== 3,

∴,设C（m,n）,则有OD=m、CD=n,解得OE=n,AE=m,

∴A(n,m),

∵点A在y=﹣上,

∴m=﹣,整理得：mn=18

∵点C在y=上运动,

∴k=xy=mn=18.