Question

如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．

（1）求证：直线AG垂直平分BC；

（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）△EGC构成直角三角形

【解析】

(1)由GB=GC,得出点G在BC的垂直平分线上,同理得出点A在BC的垂直平分线上,即可得出结论;                                
(2)由等边三角形的性质得出GB=BC=GC, EB=BA,∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°,证出∠EBC=∠ABG,由SAS证明△EBC≌△ABG,得出∠ECB=∠AGB,再由等腰三角形的性质即可得出结论.

（1）∵△GBC为等边三角形，∴GB=GC，

∴点G在BC的垂直平分线上，

又∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，

∴直线AG垂直平分BC；

(2)△EGC构成直角三角形，

∵△GBC和△ABE为等边三角形，

∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°，

∴∠EBC=∠ABG，∴△EBC≌△ABG ，

∴∠ECB=∠AGB，∵GB=GC且AG⊥BC，∴∠AGB=∠BGC=30°，

∴∠ECB=30°，

∴∠ECG=90°，即△EGC构成直角三角形．