Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（2，0），其中a、b满足， DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO,直线AE交x轴于点C.

(1)求A、B、E三点的坐标；

(2) 若以AB为一边在第二象限内构造等腰直角三角形△ABF，请直接写出点F的坐标．

Answer

(1)A(0,3)，B(-1,0)，E(2,1)，(2) (-4,1)(-3,4)(-2,2)

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而可得出A、B两点的坐标；由已知角相等，加上一对直角相等，且根据A，B与D的坐标确定出OA=BD，利用AAS得到△AOB与△BED全等，利用全等三角形的对应边相等得到OB=ED，进而确定出E坐标.

（2）分∠BAF=90°，∠ABF=90°或∠AFB=90°三种情况进行讨论．

【解析】
（1）∵a、b满足+|b-3|=0，

∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，

∵A（0，3），B（-1，0）；

（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），

∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，

∴OA=BD=3，

在△ABO和△BED中，

∠AOB=∠BDE=90°，

∠ABO=∠BEO，

OA=BD，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴ED=OB=1，

∴E（2，1）.

（2）如图所示，当∠BAF=90°时，

过点F1作F1G⊥y轴于点G，

∵∠F1AG+∠AF1G=90°，∠F1AG+∠BAO=90°，

∴∠AF1G=∠BAO，

在△AGF1与△BOA中，

∠AF1G=∠BAO，

∠AGF1=∠BOA，

AF1=AB，

∴△AGF1≌△BOA，

∴AG=OB=1，GF1=OA=3，

∴F1（-3，4）；

当∠ABF=90°时，过点F2作F2G⊥x轴于点H，

同理可得△OAB≌△HBF2，

∴BH=OA=3，F2H=OB=1，

∴OH=BH+OB=3+1=4，

∴F2（-4，1）；

当∠AFB=90°时，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（0，3），B（-1，0），

∴ ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=3x+3．

设线段AB的中点为M，则M（-， ），

设线段AB的垂直平分线l的解析式为y=-x+c（a≠0），

∴+c=，解得c=，

∴直线l的解析式为y=-x+．

设F3（x，-x+），

∵△AF3B是等腰直角三角形，AB==，

∴AF3=，

∴x2+（-x+-3）2=5，解得x=-1，

∴F3（-1，2）．

综上所述，F点的坐标为（-3，4）或（-4，1）或（-1，2）．