Question

在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：

画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F（如图①）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？

（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由．

（3）探究：画∠AOB=50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF=130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．

Answer

（1）PE=PF；（2）PE=PF；理由见解析；（3）PE=PF；理由见解析

【解析】

试题（1）由条件可知PE=PF；

（2）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；

（3）过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；

试题解析：（1）PE=PF；

（2）PE=PF，理由如下：

过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，

∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，

∵∠AOB=∠PGE=∠PHF=90°，∴∠GPH=90°，

∵∠EPF=90°，∴∠GPE=∠FPH，

∴△PEG≌△PFH（ASA），

∴PE=PF；

（3）PE=PF，理由如下：

过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足是G，H，则∠PGE=∠PHF=90°，

∵OP平分∠AOB，∴PG=PH，

∵∠AOB=50°，∴∠GPH=130°，

∵∠EPF=130°，∴∠GPE=∠FPH，

∴△PEG≌△PFH（ASA），

∴PE=PF；